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By Wolfgang Fischer, Ingo Lieb

Inhalt
Vorwort - Leitfaden - Hermitische Metriken und normale Familien - Analytische Fortsetzung und Riemannsche Flächen - Harmonische Funktionen und das Dirichlet-Problem - Der Uniformisierungssatz - Funktionentheorie im Einheitskreis - Spiegelungsprinzip und Dreiecksfunktionen - Hilberträume und konforme Abbildungen - Literaturverzeichnis

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2. Die Fundamentalgruppe Wir wollen das Verhalten von Homotopieklassen beim Zusammensetzen von Wegen studieren. Dazu ist es zweckmaBig, ftir aBe Wege das gleiche Parameterintervall J= [0, 1] zu wahlen. Sind 'Yl und 'Y2 Wege in der Teilmenge U C i:. mit 'Yl (1) = 'Y2 (0), so wird der zusammengesetzte Weg 'Y = 'Y 1 'Y2 definiert durch 'Yl 'Y2 (t) = { 'Y 1 (2t) 'Y2 (2t -1) ftir ftir 0";'t";'I/2 1/2";' t";' 1 . 1st nun 'Yl 'l1;Yl und 'Y2 'l1:Y2' so gilt auch 'Yl 'Y2 'l1;Yl :Y2' Sind narnlich HI und H2 Homotopien in U von 'Y 1 nach ;Y 1 bzw.

Das ist dasselbe wie eine Karte, die mit allen Karten eines Atlas der gegebenen komplexen Struktur vertraglich ist. Karten werden auch lokale Koordinaten genannt; wir schreiben 42 KapitellI Analytische F ortsetzung und Riemannsche FHichen statt (U, I{)) oft I{): U ~ V mit V = I{) (U) C cr. 1st I{): U ~ V eine Karte der Riemannschen FHiche X und h: V ~ we cr eine biholomorphe Abbildung, so ist auch hOI{): U ~ W eine Karte von X. Insbesondere gibt es zu jedem Xo EX lokale Koordinaten z: U ~ V mit Xo E U und z (xo) = 0; soIehe lokalen Koordinaten nennen wir Koordinaten urn xo.

0 Aufgaben: 1. Gibt es auf cr - {O} eine stark negativ gekriimmte Metrik? Hinweis: Verwende auch § 4. 2. Es seien fund g ganze Funktionen, die der Gleichung ef + e g = 1 3*. geniigen. Zeige: fund g sind konstant. ;;;; R, f (z) 0 und 1 geniigen. Zeige: j ( ist lokal beschrankt. Folgere aus dieser Aussage die Satze von Montel und Picard. ) sind von Natur aus "mehrdeutige Funktionen". Man kann zwar durch Wahl eines "Zweiges" auf einem geeigneten (etwa einfach zusammenhangenden) Definitionsgebiet Eindeutigkeit erzwingen, das ist aber stets mit willkiirlichen Festlegungen verbunden.

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