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By Friedrich Wille

Der Studierende des Faches Mathematik steht häufig vor dem challenge: Wozu sind die mathematischen Begriffe, Sätze und Denkweisen intestine, die in großer Vielzahl auf ihn ein­ stürmen? Wozu werden die Ergebnisse gebraucht, flir welche weiteren überlegungen sind sie wiederum Grundlage und Ausgangspunkt? Die vorliegende Einführung in die research hat zum Ziel, dem Leser bei diesen Frage­ stellungen zu helfen, ihm Beweggründe flir die wichtigsten Grundbegriffe, Ansätze und Ziele der Differential- und Integralrechnung zu vermitteln. Als Schlüsselproblem erweist sich dabei die Frage nach den Lösungen von Gleichungen und Gleichungssystemen. Hiervon ausgehend werden Abbildungsbegriff, Konvergenzbe­ griff (Iteration), Stetigkeit (Lösungsexistenz ), Differenzierbarkeit (Newton-Verfahren) und vieles mehr erschlossen. Andere Inhalte wurzeln auf natürliche Weise in geometri­ schen Fragestellungen, wie die Integralrechnung (Flächeninhaltsberechnung) und die trigonometrischen Funktionen (Entfernungsbestimmung). Der Leser erhält damit eine Richtschnur in die Hand, mit der sich die Differential- und Integralrechnung überschau­ bar gliedert. Bei der Stoffauswahl wurden Inhalte bevorzugt, die einerseits breiten Anwendungsbezug haben, andererseits vorbereitend zu Begriffsbildungen der höheren research hinführen, insbesondere zur Funktionalanalysis, wie z. B. der Banachsche Fixpunktsatz, der Bor­ suksche Antipodensatz, der Brouwersche Fixpunktsatz, das Newton-Verfahren für mehrere Veränderliche und anderes mehr. Die numerischen Verfahren, die in diesem Buch behandelt werden, lassen sich bequem auf Kleinrechnern durchführen, wie sie heute in der Schule vielfach verwendet werden. Schließlich sei erwähnt, daß bei der Einführung der Konvergenz wie auch der Stetigkeit ein neuer Weg beschritten wird.

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Dieser Buchtitel ist Teil des Digitalisierungsprojekts Springer booklet records mit Publikationen, die seit den Anfängen des Verlags von 1842 erschienen sind. Der Verlag stellt mit diesem Archiv Quellen für die historische wie auch die disziplingeschichtliche Forschung zur Verfügung, die jeweils im historischen Kontext betrachtet werden müssen.

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Zerlegt man es in zwei Teilintervalle [At, M], [M, Bd mit M =(Al + BI )/2, so liegen in wenigstens einem der beiden Teilintervalle unendlich viele an. Halbiert man dieses Teilintervall, [A 2, B2 ] genannt, abermals, so liegen in einer dieser Hälften, [A 3 , B3 ] genannt, wieder unendlich viele an. , d. \- o. Nach dem Intervallschachtelungsprinzip (s. Anhang AS, Satz A6) gibt es gen aue i n e Zahl a, die in allen Intervallen [A k , Bk ] liegt. Wählt man nacheinander aus jedem [Ab Bk] ein ank der Folge aus (mit nt < n2 < ...

A heißt G ren z wer t oder Li m es der Folge {an}' (an - a) nennt man den Feh I e r von an (bez. a). ;; O'n ist damit eine Feh I e r a b s c h ätz u n g gegeben. Eine Folge, die nicht konvergiert, heißt d i ver gen t. Be m e r k u n g. ;; an, d. h. für alle n E N. Man trägt nun die Punkte (n, a - an)T, (n, an)T, (n, a + O'n)T in ein ebenes Koordinatensystem ein (für n = 1, 2, 3, ... bis zu einem geeigneten n = nf)' Zur besseren Übersicht verbindet man die Punkte (n, a - an)T, (n, an)T, (n, a + an) jeweils durch Streckenzüge (s.

J. 0 ' Icncl - Ic+c~llcl "" (lcl-lc~l) Icl '" Icl 2 2 iD . ·1 an 1 1 al so - l -+ - . amit gI t - = - an -+ - a. --=--:-:---:-;-- tim 7 + lim 2/n 0 ..... 00 3- 0 =- = -3 7+0 7 0 ..... 00 Entsprechend erhält man für alle Folgen {an} der Form pon- k + Pl n- k+l + ... + Pk qon- k + ql n- k +l + ... 3 wurden aus konvergenten Folgen durch Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division neue konvergente Folgen gewonnen. Eine konvergente Folge erzeugt aber auch auf andere Weise weitere konvergente Folgen, nämlich durch übergang zu Teilfolgen oder Komponentenfolgen.

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